Theory StateSpaceEx
section ‹Examples \label{sec:Examples}›
theory StateSpaceEx
imports StateSpaceLocale StateSpaceSyntax
begin
syntax
"_statespace_updates" :: "('a ⇒ 'b) ⇒ updbinds ⇒ ('a ⇒ 'b)" ("_⟨_⟩" [900,0] 900)
text ‹Did you ever dream about records with multiple inheritance?
Then you should definitely have a look at statespaces. They may be
what you are dreaming of. Or at least almost \dots›
text ‹Isabelle allows to add new top-level commands to the
system. Building on the locale infrastructure, we provide a command
⬚‹statespace› like this:›
statespace vars =
n::nat
b::bool
print_locale vars_namespace
print_locale vars_valuetypes
print_locale vars
text ‹\noindent This resembles a ⬚‹record› definition,
but introduces sophisticated locale
infrastructure instead of HOL type schemes. The resulting context
postulates two distinct names \<^term>‹n› and \<^term>‹b› and
projection~/ injection functions that convert from abstract values to
\<^typ>‹nat› and ‹bool›. The logical content of the locale is:›
locale vars' =
fixes n::'name and b::'name
assumes "distinct [n, b]"
fixes project_nat::"'value ⇒ nat" and inject_nat::"nat ⇒ 'value"
assumes "⋀n. project_nat (inject_nat n) = n"
fixes project_bool::"'value ⇒ bool" and inject_bool::"bool ⇒ 'value"
assumes "⋀b. project_bool (inject_bool b) = b"
text ‹\noindent The HOL predicate \<^const>‹distinct› describes
distinctness of all names in the context. Locale ‹vars'›
defines the raw logical content that is defined in the state space
locale. We also maintain non-logical context information to support
the user:
▪ Syntax for state lookup and updates that automatically inserts
the corresponding projection and injection functions.
▪ Setup for the proof tools that exploit the distinctness
information and the cancellation of projections and injections in
deductions and simplifications.
This extra-logical information is added to the locale in form of
declarations, which associate the name of a variable to the
corresponding projection and injection functions to handle the syntax
transformations, and a link from the variable name to the
corresponding distinctness theorem. As state spaces are merged or
extended there are multiple distinctness theorems in the context. Our
declarations take care that the link always points to the strongest
distinctness assumption. With these declarations in place, a lookup
can be written as ‹s⋅n›, which is translated to ‹project_nat (s n)›, and an
update as ‹s⟨n := 2⟩›, which is translated to ‹s(n := inject_nat 2)›.
We can now establish the
following lemma:›
lemma (in vars) foo: "s<n := 2>⋅b = s⋅b" by simp
text ‹\noindent Here the simplifier was able to refer to
distinctness of \<^term>‹b› and \<^term>‹n› to solve the equation.
The resulting lemma is also recorded in locale ‹vars› for
later use and is automatically propagated to all its interpretations.
Here is another example:›
statespace 'a varsX = NB: vars [n=N, b=B] + vars + x::'a
text ‹\noindent The state space ‹varsX› imports two copies
of the state space ‹vars›, where one has the variables renamed
to upper-case letters, and adds another variable \<^term>‹x› of type
\<^typ>‹'a›. This type is fixed inside the state space but may get
instantiated later on, analogous to type parameters of an ML-functor.
The distinctness assumption is now ‹distinct [N, B, n, b, x]›,
from this we can derive both \<^term>‹distinct [N,B]› and \<^term>‹distinct [n,b]›,
the distinction assumptions for the two versions of
locale ‹vars› above. Moreover we have all necessary
projection and injection assumptions available. These assumptions
together allow us to establish state space \<^term>‹varsX› as an
interpretation of both instances of locale \<^term>‹vars›. Hence we
inherit both variants of theorem ‹foo›: ‹s⟨N := 2⟩⋅B =
s⋅B› as well as ‹s⟨n := 2⟩⋅b = s⋅b›. These are immediate
consequences of the locale interpretation action.
The declarations for syntax and the distinctness theorems also observe
the morphisms generated by the locale package due to the renaming
\<^term>‹n = N›:›
lemma (in varsX) foo: "s⟨N := 2⟩⋅x = s⋅x" by simp
text ‹To assure scalability towards many distinct names, the
distinctness predicate is refined to operate on balanced trees. Thus
we get logarithmic certificates for the distinctness of two names by
the distinctness of the paths in the tree. Asked for the distinctness
of two names, our tool produces the paths of the variables in the tree
(this is implemented in Isabelle/ML, outside the logic) and returns a
certificate corresponding to the different paths. Merging state
spaces requires to prove that the combined distinctness assumption
implies the distinctness assumptions of the components. Such a proof
is of the order $m \cdot \log n$, where $n$ and $m$ are the number of
nodes in the larger and smaller tree, respectively.›
text ‹We continue with more examples.›
statespace 'a foo =
f::"nat⇒nat"
a::int
b::nat
c::'a
lemma (in foo) foo1:
shows "s⟨a := i⟩⋅a = i"
by simp
lemma (in foo) foo2:
shows "(s⟨a:=i⟩)⋅a = i"
by simp
lemma (in foo) foo3:
shows "(s⟨a:=i⟩)⋅b = s⋅b"
by simp
lemma (in foo) foo4:
shows "(s⟨a:=i,b:=j,c:=k,a:=x⟩) = (s⟨b:=j,c:=k,a:=x⟩)"
by simp
statespace bar =
b::bool
c::string
lemma (in bar) bar1:
shows "(s⟨b:=True⟩)⋅c = s⋅c"
by simp
text ‹You can define a derived state space by inheriting existing state spaces, renaming
of components if you like, and by declaring new components.
›
statespace ('a,'b) loo = 'a foo + bar [b=B,c=C] +
X::'b
lemma (in loo) loo1:
shows "s⟨a:=i⟩⋅B = s⋅B"
proof -
thm foo1
txt ‹The Lemma @{thm [source] foo1} from the parent state space
is also available here: \begin{center}@{thm foo1}\end{center}›
have "s<a:=i>⋅a = i"
by (rule foo1)
thm bar1
txt ‹Note the renaming of the parameters in Lemma @{thm [source] bar1}:
\begin{center}@{thm bar1}\end{center}›
have "s<B:=True>⋅C = s⋅C"
by (rule bar1)
show ?thesis
by simp
qed
statespace 'a dup = FA: 'a foo [f=F, a=A] + 'a foo +
x::int
lemma (in dup)
shows "s<a := i>⋅x = s⋅x"
by simp
lemma (in dup)
shows "s<A := i>⋅a = s⋅a"
by simp
lemma (in dup)
shows "s<A := i>⋅x = s⋅x"
by simp
text ‹There were known problems with syntax-declarations. They only
worked when the context is already completely built. This is now overcome. e.g.:›
locale fooX = foo +
assumes "s<a:=i>⋅b = k"
text ‹
We can also put statespaces side-by-side by using ordinary @{command locale} expressions
(instead of the @{command statespace}).
›
locale side_by_side = foo + bar where b="B::'a" and c=C for B C
context side_by_side
begin
text ‹Simplification within one of the statespaces works as expected.›
lemma "s<B := i>⋅C = s⋅C"
by simp
lemma "s<a := i>⋅b = s⋅b"
by simp
text ‹In contrast to the statespace @{locale loo} there is no 'inter' statespace distinctness
between the names of @{locale foo} and @{locale bar}.›
end
text ‹Sharing of names in side-by-side statespaces is also possible as long as they are mapped
to the same type.›
statespace vars1 = n::nat m::nat
statespace vars2 = n::nat k::nat
locale vars1_vars2 = vars1 + vars2
context vars1_vars2
begin
text ‹Note that the distinctness theorem for @{locale vars1} is selected here to do the proof.›
lemma "s<n := i>⋅m = s⋅m"
by simp
text ‹Note that the distinctness theorem for @{locale vars2} is selected here to do the proof.›
lemma "s<n := i>⋅k = s⋅k"
by simp
text ‹Still there is no inter-statespace distinctness.›
lemma "s<k := i>⋅m = s⋅m"
oops
end
statespace merge_vars1_vars2 = vars1 + vars2
context merge_vars1_vars2
begin
text ‹When defining a statespace instead of a side-by-side locale we get the distinctness of
all variables.›
lemma "s<k := i>⋅m = s⋅m"
by simp
end
subsection ‹Benchmarks›
text ‹Here are some bigger examples for benchmarking.›
ML ‹
fun make_benchmark n =
writeln (Active.sendback_markup_command
("statespace benchmark" ^ string_of_int n ^ " =\n" ^
(cat_lines (map (fn i => "A" ^ string_of_int i ^ "::nat") (1 upto n)))));
›
text "0.2s"
statespace benchmark100 = A1::nat A2::nat A3::nat A4::nat A5::nat
A6::nat A7::nat A8::nat A9::nat A10::nat A11::nat A12::nat A13::nat
A14::nat A15::nat A16::nat A17::nat A18::nat A19::nat A20::nat
A21::nat A22::nat A23::nat A24::nat A25::nat A26::nat A27::nat
A28::nat A29::nat A30::nat A31::nat A32::nat A33::nat A34::nat
A35::nat A36::nat A37::nat A38::nat A39::nat A40::nat A41::nat
A42::nat A43::nat A44::nat A45::nat A46::nat A47::nat A48::nat
A49::nat A50::nat A51::nat A52::nat A53::nat A54::nat A55::nat
A56::nat A57::nat A58::nat A59::nat A60::nat A61::nat A62::nat
A63::nat A64::nat A65::nat A66::nat A67::nat A68::nat A69::nat
A70::nat A71::nat A72::nat A73::nat A74::nat A75::nat A76::nat
A77::nat A78::nat A79::nat A80::nat A81::nat A82::nat A83::nat
A84::nat A85::nat A86::nat A87::nat A88::nat A89::nat A90::nat
A91::nat A92::nat A93::nat A94::nat A95::nat A96::nat A97::nat
A98::nat A99::nat A100::nat
text "2.4s"
statespace benchmark500 = A1::nat A2::nat A3::nat A4::nat A5::nat
A6::nat A7::nat A8::nat A9::nat A10::nat A11::nat A12::nat A13::nat
A14::nat A15::nat A16::nat A17::nat A18::nat A19::nat A20::nat
A21::nat A22::nat A23::nat A24::nat A25::nat A26::nat A27::nat
A28::nat A29::nat A30::nat A31::nat A32::nat A33::nat A34::nat
A35::nat A36::nat A37::nat A38::nat A39::nat A40::nat A41::nat
A42::nat A43::nat A44::nat A45::nat A46::nat A47::nat A48::nat
A49::nat A50::nat A51::nat A52::nat A53::nat A54::nat A55::nat
A56::nat A57::nat A58::nat A59::nat A60::nat A61::nat A62::nat
A63::nat A64::nat A65::nat A66::nat A67::nat A68::nat A69::nat
A70::nat A71::nat A72::nat A73::nat A74::nat A75::nat A76::nat
A77::nat A78::nat A79::nat A80::nat A81::nat A82::nat A83::nat
A84::nat A85::nat A86::nat A87::nat A88::nat A89::nat A90::nat
A91::nat A92::nat A93::nat A94::nat A95::nat A96::nat A97::nat
A98::nat A99::nat A100::nat A101::nat A102::nat A103::nat A104::nat
A105::nat A106::nat A107::nat A108::nat A109::nat A110::nat A111::nat
A112::nat A113::nat A114::nat A115::nat A116::nat A117::nat A118::nat
A119::nat A120::nat A121::nat A122::nat A123::nat A124::nat A125::nat
A126::nat A127::nat A128::nat A129::nat A130::nat A131::nat A132::nat
A133::nat A134::nat A135::nat A136::nat A137::nat A138::nat A139::nat
A140::nat A141::nat A142::nat A143::nat A144::nat A145::nat A146::nat
A147::nat A148::nat A149::nat A150::nat A151::nat A152::nat A153::nat
A154::nat A155::nat A156::nat A157::nat A158::nat A159::nat A160::nat
A161::nat A162::nat A163::nat A164::nat A165::nat A166::nat A167::nat
A168::nat A169::nat A170::nat A171::nat A172::nat A173::nat A174::nat
A175::nat A176::nat A177::nat A178::nat A179::nat A180::nat A181::nat
A182::nat A183::nat A184::nat A185::nat A186::nat A187::nat A188::nat
A189::nat A190::nat A191::nat A192::nat A193::nat A194::nat A195::nat
A196::nat A197::nat A198::nat A199::nat A200::nat A201::nat A202::nat
A203::nat A204::nat A205::nat A206::nat A207::nat A208::nat A209::nat
A210::nat A211::nat A212::nat A213::nat A214::nat A215::nat A216::nat
A217::nat A218::nat A219::nat A220::nat A221::nat A222::nat A223::nat
A224::nat A225::nat A226::nat A227::nat A228::nat A229::nat A230::nat
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A294::nat A295::nat A296::nat A297::nat A298::nat A299::nat A300::nat
A301::nat A302::nat A303::nat A304::nat A305::nat A306::nat A307::nat
A308::nat A309::nat A310::nat A311::nat A312::nat A313::nat A314::nat
A315::nat A316::nat A317::nat A318::nat A319::nat A320::nat A321::nat
A322::nat A323::nat A324::nat A325::nat A326::nat A327::nat A328::nat
A329::nat A330::nat A331::nat A332::nat A333::nat A334::nat A335::nat
A336::nat A337::nat A338::nat A339::nat A340::nat A341::nat A342::nat
A343::nat A344::nat A345::nat A346::nat A347::nat A348::nat A349::nat
A350::nat A351::nat A352::nat A353::nat A354::nat A355::nat A356::nat
A357::nat A358::nat A359::nat A360::nat A361::nat A362::nat A363::nat
A364::nat A365::nat A366::nat A367::nat A368::nat A369::nat A370::nat
A371::nat A372::nat A373::nat A374::nat A375::nat A376::nat A377::nat
A378::nat A379::nat A380::nat A381::nat A382::nat A383::nat A384::nat
A385::nat A386::nat A387::nat A388::nat A389::nat A390::nat A391::nat
A392::nat A393::nat A394::nat A395::nat A396::nat A397::nat A398::nat
A399::nat A400::nat A401::nat A402::nat A403::nat A404::nat A405::nat
A406::nat A407::nat A408::nat A409::nat A410::nat A411::nat A412::nat
A413::nat A414::nat A415::nat A416::nat A417::nat A418::nat A419::nat
A420::nat A421::nat A422::nat A423::nat A424::nat A425::nat A426::nat
A427::nat A428::nat A429::nat A430::nat A431::nat A432::nat A433::nat
A434::nat A435::nat A436::nat A437::nat A438::nat A439::nat A440::nat
A441::nat A442::nat A443::nat A444::nat A445::nat A446::nat A447::nat
A448::nat A449::nat A450::nat A451::nat A452::nat A453::nat A454::nat
A455::nat A456::nat A457::nat A458::nat A459::nat A460::nat A461::nat
A462::nat A463::nat A464::nat A465::nat A466::nat A467::nat A468::nat
A469::nat A470::nat A471::nat A472::nat A473::nat A474::nat A475::nat
A476::nat A477::nat A478::nat A479::nat A480::nat A481::nat A482::nat
A483::nat A484::nat A485::nat A486::nat A487::nat A488::nat A489::nat
A490::nat A491::nat A492::nat A493::nat A494::nat A495::nat A496::nat
A497::nat A498::nat A499::nat A500::nat
text "9.0s"
statespace benchmark1000 = A1::nat A2::nat A3::nat A4::nat A5::nat
A6::nat A7::nat A8::nat A9::nat A10::nat A11::nat A12::nat A13::nat
A14::nat A15::nat A16::nat A17::nat A18::nat A19::nat A20::nat
A21::nat A22::nat A23::nat A24::nat A25::nat A26::nat A27::nat
A28::nat A29::nat A30::nat A31::nat A32::nat A33::nat A34::nat
A35::nat A36::nat A37::nat A38::nat A39::nat A40::nat A41::nat
A42::nat A43::nat A44::nat A45::nat A46::nat A47::nat A48::nat
A49::nat A50::nat A51::nat A52::nat A53::nat A54::nat A55::nat
A56::nat A57::nat A58::nat A59::nat A60::nat A61::nat A62::nat
A63::nat A64::nat A65::nat A66::nat A67::nat A68::nat A69::nat
A70::nat A71::nat A72::nat A73::nat A74::nat A75::nat A76::nat
A77::nat A78::nat A79::nat A80::nat A81::nat A82::nat A83::nat
A84::nat A85::nat A86::nat A87::nat A88::nat A89::nat A90::nat
A91::nat A92::nat A93::nat A94::nat A95::nat A96::nat A97::nat
A98::nat A99::nat A100::nat A101::nat A102::nat A103::nat A104::nat
A105::nat A106::nat A107::nat A108::nat A109::nat A110::nat A111::nat
A112::nat A113::nat A114::nat A115::nat A116::nat A117::nat A118::nat
A119::nat A120::nat A121::nat A122::nat A123::nat A124::nat A125::nat
A126::nat A127::nat A128::nat A129::nat A130::nat A131::nat A132::nat
A133::nat A134::nat A135::nat A136::nat A137::nat A138::nat A139::nat
A140::nat A141::nat A142::nat A143::nat A144::nat A145::nat A146::nat
A147::nat A148::nat A149::nat A150::nat A151::nat A152::nat A153::nat
A154::nat A155::nat A156::nat A157::nat A158::nat A159::nat A160::nat
A161::nat A162::nat A163::nat A164::nat A165::nat A166::nat A167::nat
A168::nat A169::nat A170::nat A171::nat A172::nat A173::nat A174::nat
A175::nat A176::nat A177::nat A178::nat A179::nat A180::nat A181::nat
A182::nat A183::nat A184::nat A185::nat A186::nat A187::nat A188::nat
A189::nat A190::nat A191::nat A192::nat A193::nat A194::nat A195::nat
A196::nat A197::nat A198::nat A199::nat A200::nat A201::nat A202::nat
A203::nat A204::nat A205::nat A206::nat A207::nat A208::nat A209::nat
A210::nat A211::nat A212::nat A213::nat A214::nat A215::nat A216::nat
A217::nat A218::nat A219::nat A220::nat A221::nat A222::nat A223::nat
A224::nat A225::nat A226::nat A227::nat A228::nat A229::nat A230::nat
A231::nat A232::nat A233::nat A234::nat A235::nat A236::nat A237::nat
A238::nat A239::nat A240::nat A241::nat A242::nat A243::nat A244::nat
A245::nat A246::nat A247::nat A248::nat A249::nat A250::nat A251::nat
A252::nat A253::nat A254::nat A255::nat A256::nat A257::nat A258::nat
A259::nat A260::nat A261::nat A262::nat A263::nat A264::nat A265::nat
A266::nat A267::nat A268::nat A269::nat A270::nat A271::nat A272::nat
A273::nat A274::nat A275::nat A276::nat A277::nat A278::nat A279::nat
A280::nat A281::nat A282::nat A283::nat A284::nat A285::nat A286::nat
A287::nat A288::nat A289::nat A290::nat A291::nat A292::nat A293::nat
A294::nat A295::nat A296::nat A297::nat A298::nat A299::nat A300::nat
A301::nat A302::nat A303::nat A304::nat A305::nat A306::nat A307::nat
A308::nat A309::nat A310::nat A311::nat A312::nat A313::nat A314::nat
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